שיעור 2: סכום המספרים האי־זוגיים

פרק 1 – מהי אינדוקציה והוכחת נוסחת סכום

1נוסח השאלה

2הוכחה באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים:

1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²

הוכחה באינדוקציה

1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

אגף שמאל: איבר אחד, 2 · 1 − 1 = 1.

אגף ימין:

1² = 1 ✓

שני האגפים שווים.

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

הוכחה באינדוקציה · המשך

1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

1 + 3 + … + (2k − 1) = k²

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

האיבר האחרון בעבור n = k + 1 הוא 2(k + 1) − 1 = 2k + 1.

צ״ל: 1 + 3 + … + (2k − 1) + (2k + 1) = (k + 1)²

נציב במקום 1 + 3 + … + (2k − 1) את k²:

📐 הנחת האינדוקציה

צ״ל: k² + (2k + 1) = (k + 1)²

📐 הנחת האינדוקציה

1 + 3 + … + (2k − 1) = k²

הוכחה באינדוקציה · המשך

1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²

צ״ל: k² + (2k + 1) = (k + 1)²

k² + (2k + 1) = k² + 2k + 1

זה בדיוק ריבוע של סכום:

📐 נוסחת הכפל המקוצר

= (k + 1)² ✓

קיבלנו בדיוק את מה שצריך להוכיח, ולכן הטענה נכונה בעבור n = k + 1.

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📐 נוסחת הכפל המקוצר

(a + b)² = a² + 2ab + b²

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא